pb - Un exercice de colle, solutions.

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Un exercice de colle.

Rappel du problème :

Soit $\left(u_n \right)$ une suite à terme positifs, décroissante.
Montrer que si la série $\sum u_n$ converge, alors $u_n=o(1/n)$.

Trouver une solution avec des epsilons et une avec des infiniments grands d'analyse non standard, pour comparer les deux techniques.

Solutions :

Analyse non standard	Analyse classique
Soit $N$ un entier non standard ("infiniment grand"). On a $\sum_{n=0}^N u_n \approx l$ où l est la somme de la série convergente. Le signe $\approx$ signifie que les deux sont infiniment proches (la distance les séparant est infinitésimale). On a aussi $\sum_{n\geq N} u_n \approx 0$ Et pour tout $M>N$, $\sum_{n=N}^M u_n \approx 0$ Comme $\left(u_n \right)$ est positive et décroissante, on a $0 \leq (M-N+1)u_M \leq \sum_{n=N}^M u_n$ Par ailleurs, la suite $\left(u_n\right)$ converge vers 0. Donc $\exist M>N, (N-1)u_M\approx 0$ Pour cette valeur de M, on a : $0 \leq (M-N+1)u_M \leq \sum_{n=N}^M u_n$ $0 \leq M u_M-(N-1)u_M \leq \sum_{n=N}^M u_n$ Si bien que $M u_M$ est compris entre 0 et une somme de deux infinitésimaux : c'est un infinitésimal. Donc : $M u_M \approx 0$, cqfd	Soit $\epsilon>0$. $\exist N, \sum_{n=N}^{+\infty}u_n \leq\epsilon/2$ () Comme $\left(u_n \right)$ est positive et décroissante, on a $0 \leq (M-N+1)u_M \leq \sum_{n=N}^M u_n$ Par ailleurs, la suite $\left(u_n\right)$ converge vers 0. Donc $\exist M \forall n>M, u_n \leq \frac{\epsilon}{2(N-1)}$ () Soit $p \geq max(N,M)$. On a $(p-N+1) u_p \leq \sum_{n=M}^p u_n $ () Donc : $p u_p = (p-N+1) u_p + (N-1) u_p \leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}$ d'après (),() et (**). Cqfd.

Analyse non standard

Analyse classique

Soit $N$ un entier non standard ("infiniment grand").
On a $\sum_{n=0}^N u_n \approx l$ où l est la somme de la série convergente.
Le signe $\approx$ signifie que les deux sont infiniment proches
(la distance les séparant est infinitésimale).

On a aussi $\sum_{n\geq N} u_n \approx 0$
Et pour tout $M>N$, $\sum_{n=N}^M u_n \approx 0$

Comme $\left(u_n \right)$ est positive et décroissante, on a
$0 \leq (M-N+1)u_M \leq \sum_{n=N}^M u_n$

Par ailleurs, la suite $\left(u_n\right)$ converge vers 0.
Donc $\exist M>N, (N-1)u_M\approx 0$

Pour cette valeur de M, on a :
$0 \leq (M-N+1)u_M \leq \sum_{n=N}^M u_n$
$0 \leq M u_M-(N-1)u_M \leq \sum_{n=N}^M u_n$
Si bien que $M u_M$ est compris entre 0 et une somme de deux infinitésimaux : c'est un infinitésimal.
Donc : $M u_M \approx 0$, cqfd

Soit $\epsilon>0$.

$\exist N, \sum_{n=N}^{+\infty}u_n \leq\epsilon/2$ (**)

Comme $\left(u_n \right)$ est positive et décroissante, on a
$0 \leq (M-N+1)u_M \leq \sum_{n=N}^M u_n$

Par ailleurs, la suite $\left(u_n\right)$ converge vers 0.
Donc $\exist M \forall n>M, u_n \leq \frac{\epsilon}{2(N-1)}$ (***)

Soit $p \geq max(N,M)$.
On a $(p-N+1) u_p \leq \sum_{n=M}^p u_n $ (*)

Donc :
$p u_p = (p-N+1) u_p + (N-1) u_p \leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}$
d'après (*),(**) et (***). Cqfd.