Comment rendre rigoureux le raisonnement exposé ici pour justifier le théorème fondamental de l'analyse ?
Il s'agit de justifier rigoureusement mais en utilisant des nombres infinitésimaux que :
$$ \int_{a}^{b} f(t) dt = F(b)-F(a) $$
Vous pouvez avoir quelques explications supplémentaires ici sur la façon de se représenter les nombres en analyse non standard (et bien sûr également sur Wikipédia), mais pour ce qui concerne le raisonnement qui nous intéresse, voici ce qui sera utilisé :
- on considère qu'il existe des nombres entiers non standards (infiniment grands, c'est à dire supérieurs à tout entier standard de $\N$)
- on considère qu'il existe des réels positifs infinitésimaux non standards (c'est à dire supérieurs strictement à 0, mais inférieurs strictement à tout réel standard positif de $\R^{*}_{+}$)
- toutes les règles de calcul habituelles sont valables pour ces nombres non standards (suivant le modèle de l'analyse non standard qu'on utilise, les nombres peuvent appartenir à $\R$ lui même ou à un surcorps de $\R$, mais cela ne change rien à ce qui suit)
- soient $x$ et $y$ deux nombres (standards ou non). Si $\mid x-y \mid$ est infinitésimal on dit que $y$ appartient au halo de $x$ et on note : $y\approx x$
- soit $x$ un nombre limité (c'est à dire non infiniment grand) : il existe un unique nombre standard noté $st(x)$ qui est tel que $x \approx st(x)$. On l'appelle la partie standard de $x$ : tout nombre est donc soit infiniment grand, soit de la forme $x=st(x)+o$, avec $st(x)$ un nombre standard et $o$ un nombre infinitésimal.
Remarque : il n'est pas évident de se représenter précisément ce que désigne l'adjectif "standard"... On peut imaginer que cela désigne les nombres "ordinaires", ceux qui sont "à notre portée". Il est en tous les cas important que cet adjectif reste non précisément défini pour que la théorie fonctionne !
- Tous les nombres qu'on définit de manière précise (3 ; $\frac{2}{3}$, $\pi$ , etc.) sont standards. (Par ailleurs, il n'existe pas de plus grand entier standard ou de plus petit entier non standard, si bien que la frontière entre le "fini" et "l'infini" reste bien sûr indéterminée...)
- Un calcul fini ne faisant intervenir que des nombres standards donne un résultat standard, une fonction définie de manière explicite est standard, ses primitives et sa dérivée (si elles existent) sont standards elles aussi : l'image d'un nombre standard par une telle fonction est un nombre standard...
Encore deux définitions formulées dans les termes qu'on vient d'introduire :
- si $f$ est une fonction dérivable, le nombre dérivé $f'(a)$ peut être défini ainsi : pour un quelconque nombre $x$ du halo de $a$ (c'est à dire tel que $x \approx a$), $$f'(a)=st\left( \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right)$$
- si $f$ est une fonction continue sur $[a,b]$, l'intégrale de $f$ (au sens de Riemann) sur cet intervalle peut être définie ainsi :
pour deux fonctions en escalier $f_1$ et $f_2$, dès que $f_1\leq f \leq f_2$ et $\int_{a}^{b} f_2-f_1 \approx 0$ (cette intégrale étant définie par une somme de Riemann sur une subdivision adaptée), $$\int_{a}^{b} f(x) dx = st\left( \int_{a}^{b} f_1(x) dx \right) = st\left( \int_{a}^{b} f_2(x) dx \right)$$
Après ces définitions, on peut commencer le raisonnement proprememnt dit.
Soit $f$ une fonction standard, continue sur un intervalle $[a,b]$.
On subdivise l'intervalle $[a,b]$ en $n$ intervalles $[a_i,a_{i+1}]$, $i$ variant de 0 à $n-1$, avec $a_0=a$, $a_n=b$ et pour tout $i$, $a_{i+1}-a_i=\frac{b-a}{n}$.
Si on prend $n$ non standard (c'est à dire "infiniment grand"), alors le pas $\frac{b-a}{n}$ de la subdivision est infinitésimal. On le note $dx$. On a pour tout $i$ : $a_{i+1} \approx a_i$ (ce qui signifie que leur différence est infinitésimale, c'est à dire inférieure à tout réel standard positif).
On définit la fonction en escalier $\tilde{f}$ par : si $x \in [a_i,a_{i+1}]$, $\tilde{f}(x)=f(a_i)$.
D'après la définition en analyse non standard de l'intégrale de Riemann, on peut écrire :
$$ \int_{a}^{b} f(x) dx = st\left( \int_{a}^{b} \tilde{f}(x) dx \right) = st\left( \sum_{i=0}^{n-1} f(a_i) dx \right)$$
Par ailleurs, soit $F$ une primitive de $f$ sur l'intervalle. On a : $F'(x)=f(x)$ et avec la définition de la dérivée en analyse non standard : $f(x)=F'(x)=st\left( \frac{F(x)-F(y)}{x-y}\right)$ dès que $x \approx y$.
Comme ici $a_{i+1} \approx a_i$,
$$f(a_i)=st\left( \frac{F(a_{i+1})-F(a_i)}{dx} \right)$$
C'est à dire que : $f(a_i)=\frac{F(a_{i+1})-F(a_i)}{dx} + o$ où $o$ désigne un infinitésimal.
Si bien que :
$$ \int_{a}^{b} f(x) dx = st\left( \sum_{i=0}^{n-1} (F(a_{i+1})-F(a_i)) + o dx \right) = st\left( \sum_{i=0}^{n-1} F(a_{i+1})-F(a_i)+o(a_{i+1}-a_i) \right)$$
Après simplification de tous les termes qui s'annulent dans cette somme,
$$ \int_{a}^{b} f(x) dx = st \left(F(b)-F(a)+o\times (b-a)\right)$$
F, a et b sont standards et $o\times(b-a)$ est infinitésimal donc la partie standard de $F(b)-F(a)+o\times (b-a)$ est $F(b)-F(a)$.
CQFD !