D'où vient le lien entre intégrale (aire sous une courbe) et primitive (calcul inverse de la dérivée, liée à la tangente à une courbe) ???
Cette question est régulièrement posée par des étudiants de BTS, par exemple. Et quand on voit les choses avec cette formulation, c'est vrai que le lien entre primitive et intégrale est assez nébuleux.
Il y a ici sur Wikipédia une formulation bien plus parlante qui explique que "si on connaît tous les petits changements instantanés d'une certaine quantité, alors on peut calculer le changement général de cette quantité en additionnant tous les petits changements".
Cependant, cette formulation est assez vague... voire peu convaincante si on n'a pas une pratique minimale du calcul différentiel.
Voici ci-dessous une démonstration élémentaire du théorème fondamental de l'analyse, qui affirme que :
$$ \int_{a}^{b} f(t) dt = F(b)-F(a) $$
La démonstration donnée EST rigoureuse, contrairement à ce qu'on peut penser. Elle est formulée dans des termes qui rappellent certainement les arguments de Leibnitz au tout début du calcul différentiel et ces arguments ont depuis été reformulés de façon totalement rigoureuse par l'analyse non standard. En bas de page, un lien vers la même démonstration plus détaillée, avec quelques explications sur les "nombres infinitésimaux" ou ceux "infiniment grands" en analyse non standard.
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$.
On subdivise l'intervalle $[a,b]$ en $n$ intervalles $[a_i,a_{i+1}]$, $i$ variant de 0 à $n-1$, avec $a_{0}=a$, $a_n=b$ et pour tout $i$, $a_{i+1}-a_i=\frac{b-a}{n}$.
Comme dans la méthode des rectangles de calcul approché d'une intégrale, on a alors :
$$ \int_{a}^{b} f(x) dx \approx \sum_{i=0}^{n-1} f(a_i) dx$$
en notant $dx=\frac{b-a}{n}$ dans la somme du membre de droite (je ne parle pas de la notation "$dx$" dans l'intégrale de gauche...).
Si $n$ grandit, l'approximation précédente devient meilleure et si $n$ est infini, elle devient une égalité.
Par ailleurs, soit $F$ une primitive de $f$ sur l'intervalle. on a : $F'(x)=f(x)$ et avec les notations de Leibnitz : $\frac{dF}{dx}=f(x)$ ce qui est environ : $\frac{dF}{dx}\approx \frac{F(x+dx)-F(x)}{dx}$ lorsque $dx$ est petit.
si bien que :
$$ \int_{a}^{b} f(x) dx \approx \sum_{i=0}^{n-1} \frac{dF}{dx} dx \approx \sum_{i=0}^{n-1} F(a_{i+1})-F(a_i)$$
(à nouveau : si $n$ est infini, cette dernière approximation est une égalité)
et donc on obtient :
$$\sum_{i=0}^{n-1} F(a_{i+1})-F(a_i) = F(a_1)-F(a_0)+F(a_2)-F(a_1)+F(a_3)-F(a_2)+...+F(a_{n})-F(a_{n-1}) = F(a_n)-F(a_0)= F(b)-F(a)$$
CQFD !